Bevis for nulpunktsformlen
Som med alle andre beviser, FÅ NU STYR PÅ DINE REGNEREGLER
Udgangspunktet er at vi gerne vil vise at $x=\frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$
Udgangspunkt:
$ax^2+bx+c=0$
$ax^2+bx=-c$
$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
$(x+ \frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}$
$(x+ \frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$
$(x+ \frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$
$(x+ \frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
$x+ \frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
$x+ \frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}$
$x+ \frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Hvis du skal have succes, så følg med og brug blyant og papir. Matematik SKAL læses langsomt og med blyant og papir
Træk nu c fra på begge sidder.
Del samtlige led med a.
Den kan være lidt grum, læs nederst på siden hvis du mangler en uddybende forklaring.
Læg $(\frac{b}{2a})^2$ til på begge sidder.
Man kan kvadrere en brøk tæller for sig og nævner for sig.
Vi har forlænget den sidste brøk med 4a og sat på fællesbrøkstreg.
Tag kvadratroden på begge sidder.
Kvadratroden kan tages på tæller og nævner hver for sig.
Nævneren indeholder produktet af to kvadrattal.
Vi trækker $\frac{b}{2a}$ fra på begge sidder.
Fællesnævner. sæt evt $d=b^2-4ac$
Husk kvadratet på en to-leddet størrelse. Første led i anden, andet led i anden samt det dobbelte produkt $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$
Nu tager vi et helt konkret eksempel $x^2+10x$ Jeg vil gerne have det på formen $(p+q)^2$ så:
Første led p må svare til x
10x må så være det dobbelte produkt:
$10x=2pq$ men jeg ved jo at p=x så
$10x=2xq$ det må så betyder at 5=q når jeg deler med 2x på begge sidder. så umiddelbart har jeg at,
$(x+5)^2$ er min løsning MEN hvis jeg ganger parentessen ud får jeg: $x^2+5^2+10x$ men mit udgangspunkt var jo
$x^2+10x$ så derfor bliver jeg nødt til at fratrække andet led i anden, hvis det skal passe, derfor:
$x^2+10x=(x+5)^2-5^2$ det er nøjagtigt det som sker i linie 4. Regne selv efter, prøv evt $x^2+12x$